Pillole: “Appunti di spettroscopia” – Parte II

Introduzione

Nell’articolo precedente si è visto brevemente quali sono le proprietà fondamentali di un raggio luminoso: diffrazione, riflessione e rifrazione. Ora si cercherà di approfondire il fenomeno della diffrazione, utile per capire i reticoli di diffrazione.


1 – L’interferenza

Gli effetti della diffrazione non sono facilmente riscontrabili nella vita quotidiana in quanto la lunghezza d’onda dello spettro visibile va da circa 400nm a 700nm. Bisognerebbe avere una fenditura di questo ordine di grandezza per iniziare a vedere il fenomeno della diffusione! Un’altra complicanza è che si necessita una sorgente luminosa coerente: le sorgenti coerenti sono delle sorgenti che mantengono nel tempo le loro caratteristiche. Un’ordinaria sorgente di luce, come una lampadina ad incandescenza, è soggetta a variazioni casuali in un intervallo di tempo sotto il nanosecondo. Pertanto le condizioni per l’interferenza sono mantenute solo in questo stretto intervallo. Di conseguenza il nostro occhio on riesce ad avvertire il fenomeno. Una sorgente luminosa di questo tipo si dice incoerente. Un modo per creare due sorgenti coerenti è quella di utilizzare un’unica sorgente e dividere il raggio luminoso in due: se davanti al fronte d’onda si pongono due fenditure con larghezza d molto superiore λ, allora il fascio luminoso continuerà a procedere in linea retta ma sarà sdoppiato. A questo punto, anche se si usasse una sorgente incoerente, le variazioni nell’intensità dei due raggi sarebbero le stesse (in quanto la sorgente è la medesima) e di conseguenza andrebbero ad annullarsi reciprocamente: questo fa in modo che si possa osservare l’interferenza di diffrazione. Infatti se si prendessero delle fenditure con un’apertura inferiore a λ, allora si avrebbe il fenomeno della diffrazione. Tuttavia questo fenomeno andrebbe a coinvolgere entrambi i fasci e sarebbe possibile immaginare la presenza di punti in cui i fronti d’onda si vadano a sommare e altri in cui si vadano a sottrarre: questa è l’interferenza. Nel primo casi viene detta interferenza costruttiva, nel secondo invece interferenza distruttiva (fig.1). Come anticipato nella “Parte I“. l’interferenza di due onde luminose provenienti da due fenditure fu dimostrata da Thomas Young nel 1801.

Figura 11
Figura 11

Le due fenditure agiscono come una coppia di sorgenti di luce coerente, poiché le onde uscenti da esse sono originate dallo stesso fronte d’onda e quindi mantengono una relazione di fase costante. La luce proveniente dalle due fenditure produce una figura a bande tra loro parallele chiamate frange (fig.1): le linee scure sono dovute all’interferenza distruttiva, mentre quelle chiare sono dovute all’interferenza costruttiva. La diversità tra le due interferenze dipende tutta dalla differenza di cammino (δ) delle due onde originate dalle fenditure.

Figura 2
Figura 2

Se L è molto maggiore di d, allora i due percorsi sono quasi paralleli. Possiamo semplificare immaginando che lo siano. In questo caso allora si può dedurre che (fig.2):

\delta = r_2 - r_1 = d\sin\theta

Il valore di questa differenza determina se le due onde quando arrivano in P sono fuori fase o in fase. Se la differenza di cammino è zero oppure un multiplo intero di λ le due onde arriveranno in fase e ne risulterà un’interferenza costruttiva. In maniera del tutto analoga, se δ fosse un multiplo dispari di (λ/2) allora arriveranno fuori fase e ne risulterebbe un’interferenza distruttiva.

\delta = d\sin\theta_{if} = m\lambda \hspace{3cm} m = 0, \pm1, \pm2, \ldots

\delta = d\sin\theta_{ff} = (m + {1 \over 2})\lambda \hspace{3cm} m = 0, \pm1, \pm2, \ldots

 Queste equazioni forniscono le posizioni angolari delle frange; è pure utile ricavare le posizioni lineari misurate lungo lo schermo \overline{OP}. Osservando il triangolo OPQ (fig.2) si trova che:

\tan\theta = {y \over L}

y_{if} = L\tan\theta_{if} \hspace{3cm} y_{ff} = L\tan\theta_{ff}

1.1 – Distribuzione d’intensità della figura d’interferenza

Ricollegandoci al paragrafo precedente, si supponga che il sistema a due fenditure rappresenti una sorgente coerente. Come si è visto le fenditure rappresentano sorgenti di onde sinusoidali la cui frequenza è identica e differenza di fase (Φ) costante nell’apertura. Nonostante ciò la differenza di fase nel punto P dipende dalla differenza di cammino δ. Poiché una differenza di cammino (δ=λ) corrisponde ad una differenza di fase di (2π)rad si può stabilire il rapporto:

\delta = \lambda \hspace{3cm} \phi = 2\pi

{\delta \over \phi} = {\lambda \over 2\pi}

\phi = {2\pi \over \lambda}\delta = {2\pi \over \lambda}d\sin\theta

Questa equazione dice che la differenza di fase (Φ) dipende dall’angolo θ. Si potrebbe dimostrare da questo, ma non è questa lo scopo di questi appunti, che l’intensità della luce mediata nel tempo per un dato angolo θ è:

I_{med} = I_{max}\cos^2({\pi d sin\theta \over \lambda})

I_{max} è l’intensità nel punto O, il punto corrispondente alla mediana delle due fenditure. Il grafico di I(d\sin\theta) è mostrato in (fig.3).

appunti spettroscopia II - fig3
Figura 3

1.2 – Figure di diffrazione

In generale si ha diffrazione quando le onde passano attraverso piccole aperture. Ci potremmo quindi aspettare che la luce passando da una tale piccola apertura trasmetta sullo schermo un cono di luce dovuto alla diffusione della stessa. Tuttavia si osserva un figura di diffrazione simile alle figure di interferenza viste prima. Per esempio quando una piccola fenditura è posta molto lontana da una sorgente luminosa puntiforme (come un laser) sullo schermo di proietta una figura di chiari e scuri (fig.4).

Figura 4
Figura 4

La figura consiste in una banda centrale larga e intensa (detta massimo centrale), affiancata da bande strette ed intense (massimi secondari) e da zone scure (minimi). Consideriamo il seguente modello: assumiamo che lo schermo sia lontano dalla fenditura in modo che i raggi possano essere considerati paralleli. La figura di diffrazione sullo schermo viene detta figura di diffrazione di Fraunhofer (fig.5).

Figura 5
Figura 5
Figura 6
Figura 6

Finora abbiamo assunto che le fenditure agiscano come corgenti puntiformi di luce. Tuttavia la base per capire le figure di Fraunhofer è dovuta alla natura finita della singola fenditura. Ogni porzione della fenditura si comporta come una sorgente di onde (fig.6). Quindi la luce proveniente da una porzione della fenditura può interferire con quelle attorno. Per analizzare il problema è conveniente dividere l’apertura (a) della fenditura in due parti uguali. Considerando le onde (1) e (3) che

sono originate dal fondo e dal centro. Per raggiungere lo stesso punto sullo schermo (1) deve percorrere rispetto all’onda (3) un tratto in più pari alla differenza di cammino (a \over 2)\sin\theta. Se questa differenza di cammino è pari a (λ/2) le due onde si annullano l’un l’altra e ne risulta interferenza distruttiva. Questo è vero per ogni coppia di onde distanti (a/2). Perciò due onde a questa distanza hanno interferenza distruttiva quando:

{a \over 2}\sin\theta = {\lambda \over 2}

\sin\theta = {\lambda \over a}

Tuttavia questo ragionamento vale anche se immaginiamo di dividere lo spazio in quattro parti uguali, in sei parti uguali e così via:

\sin\theta = {2\lambda \over a}

\sin\theta = {3\lambda \over a}

Perciò la condizione generale per l’interferenza distruttiva è:

\sin\theta_{ff} = {m\lambda \over a} \hspace{3cm} m = \pm1, \pm2, \pm3, \ldots

L’equazione fornisce i valori di θ per cui la figura di diffrazione ha intensità nulla. Tuttavia nulla dice circa la variazione di intensità sullo schermo. Le caratteristiche generali della distribuzione d’intensità sullo schermo sono mostrate a fianco (fig.7). Si osserva una larga frangia centrale chiara con ai lati un alternarsi di frange molto meno intense. Le frange scure invece si trovano per i valori di θ che soddisfano l’equazione.

Figura 7
Figura 7

(*) Jewett, Serway, “Principi di fisica“, Vol 1, EdiSES, 2007